第一章 离散时间信号与系统
第二章 z变换和离散时间傅里叶变换(DTFT)
第三章 离散傅里叶变换
第四章 快速傅里叶变换（FFT）
第五章 数字滤波器的基本结构
第六章 无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器的设计方法
第七章 有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器的设计方法
第八章 序列的抽取与插值——多抽样率数字信号处理基础
第二章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
2.1 序列的z变换
z变换定义
-
z变换
X(z）=\mathscr{L}[x(n)]\\=\sum\limits^{\infty}_{n=-\infty}x(n)z^{-n}
-
z反变换
x(n)=\mathscr{L}^{-1}[X(z)]\\=\frac{1}{2\pi j}\oint_cX(z)z^{n-1}\mathrm{d}{z}
z变换收敛域（图片较多）
- 有限长序列：0<|z|<\infty
- 右边序列：R_{x^-}<|z|<\infty
- 因果序列：R_{x^-}<|z|\leq\infty
- 左边序列：\infty<|z|<R_{x^+}
- 反因果序列：\infty<|z|\leq R_{x^+}
- 双边序列：R_{x^-}<|z|<R_{x^+}
常用的z变换对
| 序列 | z变换 | 收敛域 |
|---|---|---|
| \delta(n) | 1 | 全部 |
| u(n) | \frac{z}{z-1} | $ |
| u(-n-1) | -\frac{z}{z-1} | $ |
| a^nu(n) | \frac{z}{z-a} | $ |
| a^nu(-n-1) | -\frac{z}{z-a} | $ |
| e^{-jn\omega_0}u(n) | \frac{z}{z-e^{-j\omega_{0}}} | $ |
| \sin(n\omega_{0})u(n) | \frac{z\sin\omega_0}{z^2-2z\cos\omega_0+1} | $ |
| \cos(n\omega_{0})u(n) | \frac{z^2-z\cos\omega_{0}}{z^2-2z\cos\omega_0+1} | $ |
| R_N(n) | \frac{1-z^{-N}}{1-z^{-1}} | $ |
部分分式展开法做z反变换
若X(z)有：
X(z)=\frac{b_{0}+b_{1}z+\cdots+b_{M-1}z^{M-1}+b_{M}z^{M}}{a_{0}+a_1z+\cdots+a_{N-1}x^{M-1}+a_N z^{N}}
可将X(z)展开成如下形式：
\frac{X(z)}{z}=\frac{A_{o}}{z}+\sum_{i=1}^{N-r}\frac{A_{i}}{z-z_{i}}+\sum_{j=1}^{r}\frac{D_{j}}{(z-z_{i})^{j}}
用留数定理求得各个系数A_i ：
A_{k}=(z-z_{k})\left.\frac{X(k)}{z}\right|_{z=z_{k}}
系数D_j可以用如下公式求解：
D_{j}=\frac{1}{(r-j)!}\left\langle\frac{\mathrm{d}^{r-j}}{\mathrm{d}z^{r-j}}\Big[(z-z_{i})^r\frac{X(z)}{z}\Big]\right\rangle_{z=z_{i}},j=1,2,\cdots,r
幂级数展开法做z反变换
比如说：
X(z)=\frac{3z}{(z-3)^{2}}=\frac{3z}{z^{2}-6z+9},\quad\mid z\mid>3
做长除法：
得到：
X(z)=3z^{-1}+2\times3^2z^{-2}+3\times3^3z^{-3}+4\times3^4z^{-4}+\cdots\\=\sum\limits_{i=1}^\infty n\times3^nz^{-n}
由此得到：
x(n)=n\times3^nu(n-1)
z变换的性质
| 性质 | 序列 | z变换 | 收敛域 |
|---|---|---|---|
| x(n) | X(z) | R_{x^-}<\mid z\mid<R_{x^+} | |
| h(n) | H(z) | R_{h^-}<\mid z\mid<R_{h^+} | |
| 线性 | a x\left(n\right)+b h\left(n\right) | a X(z)+b H(z) | $\max[R_{x-},R_{h-}]< |
| 序列移位 | x(n-m) | z^{-m}X(z) | R_{x^-}<\mid z\mid<R_{x^+} |
| 乘指数序列 | a^nx(n) | x(\frac{z}{a}) | \mid a\mid R_{x^-}<\mid z\mid<\mid a\mid R_{x^+} |
| z域取导数 | n^mx(n) | \left(-z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\right)^{m}X(z) | R_{x^-}<\mid z\mid<R_{x^+} |
| 序列取共轭 | x^*(n) | X^*(z^*) | R_{x^-}<\mid z\mid<R_{x^+} |
| 序列翻褶 | x(-n) | X(\frac{1}{z}) | \frac{1}{R_{x^{+}}}<\mid z\mid<\frac1{R_{x^{-}}} |
| 序列共轭翻褶 | x^*(-n) | X^*(\frac{1}{z^*}) | \frac{1}{R_{x^{+}}}<\mid z\mid<\frac1{R_{x^{-}}} |
| z域翻褶 | (-1)^nx(n) | X(-z) | R_{x^-}<\mid z\mid<R_{x^+} |
| 序列取实部 | \mathbf{Re}\left[x(n)\right] | \frac{1}{2}\big[X(z)+X^{*}(z^{*})\big] | R_{x^-}<\mid z\mid<R_{x^+} |
| 序列取虚部乘j | j\mathbf{Im}\big[x(n)\big] | \frac{1}{2}\big[X(z)-X^{*}(z^{*})\big] | R_{x^-}<\mid z\mid<R_{x^+} |
| 因果序列累加 | \sum\limits_{m=0}^{n}x(m) | \frac{z}{z-1}X(z) | \mid z\mid>\max[R_{r^-},1],x(n)因果序列 |
| 时域卷积 | x(n)*h(n) | X(z)H(z) | \max[R_{x^-},R_{h^-}]<\mid z\mid<\min[R_{x^+},R_{h^+}] |
| z域复卷积定理 | x(n)h(n) | \frac{1}{2\pi j}\oint_{c}X(v)H\Big(\frac{z}{v}\Big)v^{-1}\mathrm{d}v | \begin{array}{l}{R_{x^-}R_{h^-}<\mid z\mid<R_{x^-}R_{k^+}}\\ {\mathrm{max}[R_{x^-},\mid z\mid/R_{k^+}]<\mid v\mid<}\\ {\mathrm{min}[\dot{R}_{x^+},\mid z\mid/{R}_{k^-}]}\\ \end{array} |
| 性质 | 变换 | 收敛域 |
|---|---|---|
| 初值定理 | x(0)=\lim\limits_{z\to\infty}X(z) | x(n)为因果序列，$ |
| 终值定理 | x(\infty)=\lim\limits_{z\rightarrow1}(z-1)X(z)\quad | x(n)为因果序列，X(z)的极点落于单位圆内部，最多在z=1处有一阶极点 |
| 帕塞瓦定理 | \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}x(n)h^{*}\left(n\right)=\frac{1}{2\pi j}\oint_{c}X(v)H^{*}\left(\frac{1}{v^{*}}\right)v^{-1}\mathrm{d}v | \begin{array}{l}{{R_{x^-}R_{h^-}<1<R_{x^+}R_{h^+}}}\\ {{\operatorname*{max}[R_{x^-},1/R_{h^+}]<\mid v\mid<\operatorname*{min}[R_{x^+},}}\\ {{1/R_{h^-}]}}\end{array} |
2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT）
DTFT定义
正变换：
X(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega})=\mathrm{DTFT}\Big[x(n)\Big]=\sum_{n=-\infty}^\infty x(n)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega n}
反变换：
x(n)=\operatorname{IDTFT}\bigl[X(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega})\bigr]=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi X(\mathrm{e}^{j\omega})e^{j\omega n}\mathrm{d}\omega
用z变换求解DTFT：
H(z)\bigg|_{z=e^{j\theta}}=H(e^{j\theta})
DTFT存在条件
-
X(e^{j\omega})对应X(z)的收敛域包含单位圆，DTFT存在。
-
序列x(n)绝对可和是其傅里叶变换存在的充分条件：
\sum_{n=-\infty}^{\infty}\mid x(n)\mid<\infty
-
序列x(n)能量有限是其傅里叶变换存在的充分条件：
\sum_{n=-\infty}^{\infty}\mid x(n)\mid^{2}<\infty
DTFT主要性质
主要性质与z变换几乎一致，只需将z替换为e^{j\omega}
这里列出下面需要用到的性质：
| 名称 | 序列 | DTFT |
|---|---|---|
| 序列取共轭 | x^*(n) | X^*(e^{-\mathrm j\omega}) |
| 序列取反 | x(-n) | X(e^{-\mathrm j\omega}) |
| 序列共轭取反 | x^*(-n) | X^*(e^{\mathrm j\omega}) |
| 序列为实序列 | x(n)为实序列 | 见下方 |
\begin{cases} X(\mathrm{e}^{\mathrm{j}w})=X^{\ast}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{j}w}\right)\\ \mathrm{Re}\bigl[X(\mathrm{e}^{\mathrm j\omega})\bigr]=\mathrm{Re}[X({e}^{-\mathrm j\omega})]\\ \mathrm{Im}\big[X({e}^{\mathrm j\omega})\big]=-\mathop{\mathrm{Im}}\big[X(e^{-\mathrm j\omega})\big]\\ \mid X(e^{\mathrm j\omega})\mid=\mid X(e^{-\mathrm j\omega})\mid\\ \end{cases}
对称序列及其DTFT的一些对称性质
-
共轭对称序列x_e(n)=\mathrm{Re}[x_e(n)]+\mathrm{jIm}[x_e(n)]，满足x_e(n)=x_e^*(-n)，则有：
\begin{aligned} \mathrm{Re}[x_e(n)]&=\mathrm{Re}[x_e(-n)]\\ \mathrm{Im}[x_e(n)]&=-\mathrm{Im}[x_e(-n)] \end{aligned}
即实部偶对称，虚部奇对称。
-
共轭反对称序列x_o(n)=\mathrm{Re}[x_o(n)]+\mathrm{jIm}[x_o(n)]，满足x_o(n)=-x_o^*(-n)，则有：
\begin{aligned} \mathrm{Re}[x_o(n)]&=-\mathrm{Re}[x_o(-n)]\\ \mathrm{Im}[x_o(n)]&=\mathrm{Im}[x_o(-n)] \end{aligned}
即实部奇对称，虚部偶对称。
-
计算任意序列的x_e(n)和x_o(n)：
\begin{aligned} x_{e}(n)&=\frac{1}{2}[x(n)+x^{*}(-n)]\\ x_{o}(n)&=\frac{1}{2}[x(n)-x^{*}(-n)] \end{aligned}
-
序列及其DTFT和对称分量、实部虚部的关系：
\begin{array}{c c c}{x(n)}&=&\mathrm{Re}\bigl[x(n)\bigr]&+&\mathrm{jIm}\bigl[{x(n)}\bigr]&\\ {\updownarrow}&&{\updownarrow}&&{\updownarrow}&\\ X(\mathrm{e}^{\mathrm j\omega})&=&X_{e}(e^{\mathrm j\omega})&+&{X_{o}(e^{\mathrm j\omega})}&\end{array}
\begin{array}{c c c}{x(n)}&{=}&{x_{e}(n)}&+&{x_{o}(n)}&\\ {\updownarrow}&&{\updownarrow}&&{\updownarrow}&\\ X(e^{\mathrm j\omega})&=&\mathrm{Re}\left[X(e^{j\omega})\right]&+&\mathrm{jIm}\left[X(\mathrm{e}^{j\omega})\right]\\ \end{array}
-
若x(n)是实偶序列，则X(e^{\mathrm j\omega})是实偶函数。
- 若x(n)是实奇序列，则X(e^{\mathrm j\omega})是虚奇函数。
- 若x(n)是虚偶序列，则X(e^{\mathrm j\omega})是虚偶函数。
- 若x(n)是虚奇序列，则X(e^{\mathrm j\omega})是实奇函数。
周期性序列的傅里叶变换
常见周期序列的傅里叶变换
| 名称 | 序列 | DTFT |
|---|---|---|
| 冲激序列 | \delta(n) | 1 |
| 移位的冲激序列 | \delta(n-n_0) | e^{-\mathrm j\omega n_0} |
| 指数序列 | a^nu(n),\lvert a \rvert<1 | \frac{1}{1-ae^{-\mathrm j\omega}} |
| 矩形序列 | R_N(n) | \frac{\sin{(N\omega/2)}}{\sin{(\omega/2)}}e^{-\mathrm{j}(\frac{N-1}{2})\omega} |
| 抽样序列 | \frac{\sin\omega_cn}{\pi n} | \begin{cases}1,&\rvert \omega\rvert<\omega_c\\0,&\omega_c<\lvert\omega\rvert<\pi\end{cases} |
| 常数序列 | 1 | 2\pi\sum\limits^{\infty}_{i=-\infty}\delta(\omega-2\pi\cdot i) |
❓ 如何看\sum\limits^{\infty}_{i=-\infty}\delta(\omega-2\pi\cdot i)
这个序列简单来看就是以2\pi为周期的冲激函数串。
2.3 各种信号的关系
傅里叶变换和拉普拉斯变换的关系
傅里叶变换：
X(j\Omega) = \int^{+\infty}_{-\infty}x(t)e^{-\mathrm j\Omega t}\mathrm dt=\int^{+\infty}_{-\infty}x(t)(e^{\mathrm j\Omega })^{-t}\mathrm dt
将整个e^{\mathrm j\Omega}扩展到整个复平面e^{\sigma+\mathrm j \Omega}，然后令s=\sigma + \mathrm j \Omega，可得拉普拉斯变换：
X(s)=\int^{+\infty}_{-\infty}x(t)e^{-st}\mathrm dt
拉普拉斯变换是傅里叶变换在连续时间域上的推广，傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴上的特例。
拉普拉斯变换和z变换的关系
理想采样信号：
\dot{x}(t)=\sum\limits^{\infty}_{n=-\infty}x_a(nT)\cdot\delta(t-nT)
其拉普拉斯变换：
\begin{aligned} \dot{x}(t)=&\sum\limits^{\infty}_{n=-\infty}x_a(nT)\cdot\int^\infty_{-\infty}\delta(t-nT)\cdot e^{-st}\mathrm dt\\ =&\sum\limits^{\infty}_{n=-\infty}x_a(nT)\cdot e^{-s\cdot nT} \end{aligned}
令z=e^{sT}，可得z变换：
x(n)=\sum\limits^{\infty}_{n=-\infty}x(n)\cdot z^{-n}
从理想抽样信号的拉普拉斯变换到采样序列的z变换，就是复变量s平面到复变量z平面的映射。
离散傅里叶变换和z变换的关系
序列在单位圆上的z变换与模拟信号的频谱有关系，等于其理想抽样信号的傅里叶变换。
X(z)\bigl |_{z=e^{j\omega}}=X(e^{j\omega})=\sum\limits^{\infty}_{n=-\infty}x(n)e^{-\mathrm j\omega n}
2.4 离散LSI系统的频域表征
离散系统的描述方法
- 单位序列响应：h(n)
- 系统函数：H(z)
- 频率响应：H(e^{\mathrm j\omega})
- 常系数线性差分方程
- 零、极点图
- 方框图、信号流图
系统的因果性
-
从时域判断：
h(n)=0,n<0
-
从变换域判断：H(z)的极点都在单位圆内。
系统的稳定性
-
从时域判断：
\sum\limits^{\infty}_{k=-\infty}|h(n)|<\infty
-
从变换域判断：收敛域包含单位圆。
习题：
-
设X(z)=\frac{4z^{-2}}{\Bigl(1-\frac{1}{2}z^{-1}\Bigr)\Bigl(1+\frac{1}{4}z^{-1}\Bigl)\Bigl(1-\frac16z^{-1}\Bigr)^{2}}，|z|>\frac{1}{2}，求x(n)=\mathscr{L}^{-1}[X(z)\bigr]_{\circ}
部分分式展开得：
\begin{aligned} \dfrac{X(z)}{z}&=\dfrac{4z}{\left(z-\dfrac12\right)\left(z+\dfrac14\right)\left(z-\dfrac16\right)^2}\\ &=\frac{A}{z-\frac12}+\frac{B}{z+\frac14}+\frac{D_{1}}{z-\frac16}+\frac{D_{z}}{\left(z-\frac16\right)^{2}} \end{aligned}
计算各个系数：
\begin{aligned} A&=\Big(z-\frac12\Big)\frac{X(\boldsymbol z)}{z}\Big|_{z=\frac12}=\frac{4z}{\Big(z+\frac14\Big)\Big(z-\frac16\Big)^2}\Big|_{z=\frac12}=24\\B&=\Big(z+\frac14\Big)\frac{X(z)}{z}\Big|_{z=-\frac14}=\frac{4z}{\Big(z-\frac12\Big)\Big(z-\frac16\Big)^3}\Big|_{z=-\frac{1}{4}}=7.68\\ D_1&=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\bigg[\left(z-\dfrac{1}{6}\right)^2\left.\dfrac{X(z)}{z}\right]\bigg|_{z=\frac{1}{6}}= -31.68\\ D_{2}&=\left.\left(z-\frac{1}{6}\right)^{2}\frac{X(z)}{z}\right|_{z=\frac{1}{6}} = -4.8 \end{aligned}
部分分式展开后结果：
X(z)=\dfrac{24z}{z-\dfrac12}+\dfrac{7.68z}{z+\dfrac14}-\dfrac{31.68z}{z-\dfrac16}-\dfrac{4.8z}{\left(z-\dfrac16\right)^2},\quad\mid z\mid>\dfrac12
利用变换对和收敛域求得x(n)：
\begin{array}{c}{x(n)=24\left(\frac{1}{2}\right)^{n}u(n)+7.68\left(-\frac{1}{4}\right)^{n}u\left(n\right)-31.68\left(\frac{1}{6}\right)^nu\left(n\right)}\\ {-4.8n\left(\frac16\right)^{n-1}u\left(n-1\right)}\\ \end{array}
-
求以下序列x(n)的频谱X(e^{j\omega});
(1)\delta(n-n_0)
(2)x(n)=a"R_N(n)
(3)x(n)=4\delta(n+3)+\frac{1}{2}\delta(n)+4\delta(n-3)(1)
\begin{aligned} X(e^{j\omega})&=\sum\limits^{\infty}_{n=-\infty}\delta(n-n_0)e^{-j\omega n}\\ &=e^{-j\omega n_0} \end{aligned}
(2)
\begin{aligned}X(e^{j \omega})&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a^{n}R_{N}(n)e^{-\mathrm{j} \omega n}\\ &=\sum^{n-1}_{0}(a\cdot e^{-\mathrm{j} \omega})^{n}\\ &=\frac{{1-a^n e^{-\mathrm{j} \omega n}}}{{1-ae^{-\mathrm{j} \omega}}}\\ \end{aligned}
(3)
\begin{aligned}X(e^{j w})&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-\mathrm{j} \omega m}\\ &=4e^{\mathrm{j}3\omega}+\frac{1}{2}+4e^{-\mathrm{j}3\omega}\\ \end{aligned}
-
求序列x(n)=\{\underline{1+j},2-j,3+2j\}的x_e(n)和x_o(n)。
x_e(n)=\{1.5-j,1+0.5j,\underline{1},1-0.5j,1.5+j\}
x_o(n)=\{-1.5+j,-1-0.5j,\underline{j},1-0.5j,1.5+j\}
-
已知线性离散移不变系统y(n-1)-\frac{10}{3}y(n)+y(n+1)=x(n)，该系统稳定，求单位抽样响应。
方程两边求z变换：
H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{1}{z^{-1}-\frac{10}{3}+z}=\frac{1}{(z-3)(z-\frac{1}{3})}
其收敛域为：
\frac{1}{3}<|z|<3
\frac{H(z)}{z}=\frac{1}{(z-3)(z-\frac{1}{3})}=\frac{3/8}{z-3}-\frac{3/8}{z-\frac{1}{3}}
做逆z变换：
h(n)=-\frac 38\cdot 3^nu(-n-1)-\frac 38(\frac13)^nu(n)
-
设X(e^{\mathrm j \omega})是如图所示的x(n)信号的傅里叶变换，不必求出X(e^{\mathrm j \omega}),试完成下列计算：
(1)X(e^{\mathrm j 0})
(2)\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{\mathrm j\omega})\text{d}\omega
(3)\int_{-\pi}^{\pi}\mid X(e^{\mathrm j \omega})\mid^{2}\mathrm{d}\omega
(4)\int_{-\pi}^{\pi}\left|\frac{\mathrm{d}X(\mathrm{e}^{\mathrm j\omega})}{\mathrm{d}\omega}\right|^{2}\mathrm{d}\omega(1)6
(2)4\pi
(3)28\pi
(4)24\pi
-
已知x(n)有傅里叶变换X(e^{\mathrm j \omega}),用X(e^{\mathrm j \omega})表示下列信号的傅里叶变换:
(1)x_{1}\left(n\right)=x(1-n)+x(-1-n)
(2)x_{3}\left(n\right)=\frac{x^{*}\left(-n\right)+x\left(n\right)}{2}
(3)y(n)=\cos(\omega_{0}n)\cdot x(n)(1)2X(e^{-\mathrm j \omega})\cos{\omega}
(2)\frac12[X(e^{\mathrm j \omega})+X^*(e^{\mathrm j \omega})]
(3)\frac12[X(e^{\mathrm j (\omega-\omega_0)})+X(e^{\mathrm j (\omega+\omega_0)})]
- 答案
-
答案
-
LSI系统的单位抽样响应h(n)=\delta(n-1)，其频率响应为（ ）.
e^{j\omega}.
-
已知N=7点的实序列的DFT在偶数点的值为X(0)=4,X(2)=3+2\mathrm j,X(4)=2+4\mathrm j,X(6)=5+3\mathrm j，则X(1)=（ ），X(3)=（ ）.
5-3\mathrm j，2-4\mathrm j。
-
答案
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