第一章 离散时间信号与系统
第二章 z变换和离散时间傅里叶变换(DTFT)
第三章 离散傅里叶变换
第四章 快速傅里叶变换（FFT）
第五章 数字滤波器的基本结构
第六章 无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器的设计方法
第七章 有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器的设计方法
第八章 序列的抽取与插值——多抽样率数字信号处理基础

第五章 数字滤波器的基本结构

5.1 引言

• 数字滤波器是指完成信号滤波处理功能的，用有限精度算法实现的离散线性时不变系统。

数字滤波器的表示方法：

1. 差分方程
2. 单位冲激响应h(n)，系统函数H(z)。
3. 框图

• 运算结构有方框图发和信号流图法两种表示法。

上图所表示的差分方程：

y(n)=b_0x(n)+a_1y(n-1)+a_2y(n-2)

• 对于同一个系统函数H(z)，可以用多种不同的运算结构来实现。运算结构不同，将会影响系统。

5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器的基本结构

IIR滤波器的特点

1. h(n)无限长；
2. H(z)在有限z平面存在极点：

H(z)=\frac{\sum\limits^M_{r=0}b_rz^{-r}}{1-\sum\limits^N_{k=1}a_kz^{-k}}

1. 结构上有反馈，即递归型结构:

y(n)=\sum\limits^N_{k=1}a_ky(n-k)+\sum^M_{r=0}b_rx(n-r)

直接I型IIR滤波器

系统函数H(z)：

H(z)=\frac{\sum\limits^M_{r=0}b_rz^{-r}}{1-\sum\limits^N_{k=1}a_kz^{-k}}

差分方程:

y(n)=\sum\limits^N_{k=1}a_ky(n-k)+\sum^M_{r=0}b_rx(n-r)

信号流图：

总结：由两部分级联组成，第一部分提供零点，第二部分提供极点。滤波器需要**(N+M)个延时单元**。（不经济所以不常用）

直接II型IIR滤波器

对于一个线性时不变系统(LTI)，交换其级联子系统的次序，不改变系统的系统函数H(z)。

信号流图：

总结：

直接II型实现时先极点后零点。N阶滤波器只需N级延时单元，比I型少M个延时单元。

• 直接I型、II型优缺点：

  优点：简洁直观。

  缺点：

  1. 系数对于滤波器性能的控制关系不明显。
  2. 极点对系数的变化过于灵敏，系统频率响应对系数的变化过于灵敏。
  3. 乘法运算的量化误差造成系统输出端的噪声功率比其他结构都大。

级联型IIR滤波器

系统函数：

H(z)==A\prod_k\dfrac{1+b_{1k}z^{-1}+b_{2k}z^{-2}}{1-a_{1k}z^{−1}-a_{2k}z^{−2}}=A\prod_k H_k(z)

H(z)称为滤波器的二阶基本节。每个H_k(z)都采用直接II型结构，则可得到系统函数H(z)的级联型结构：

级联型特点：

1. 调整零极点方便；
2. 因为在级联结构中，后面的网络的输出不会流到前面，所以运算误差比直接型小；
3. 误差会逐级积累；
4. 级联间电平的放大和缩小问题。

并联型IIR滤波器

系统函数：

H(z)\begin{aligned}=A_0+\sum_{k=1}^{N_1}\dfrac{A_k}{1-c_kz^{-1}}+\sum^{N_2}_{k=1}\dfrac{b_{0k}+b_{1k}z^{-1}}{1-a_{1k}z^{-1}-a_{2k}z^{-2}}\\ \end{aligned}

为了结构上的一致性，以便多路复用，将单实根合并，全用二阶基本节来表示：

H(z)=\sum_{k=1}^L\dfrac{\beta_{0k}+\beta_{1k}z^{-1}}{1-\alpha_{1k}z^{-1}-\alpha_{2k}z^{-2}}+A_0

并联型特点：

1. 并联可单独调整极点，但不能调整零点；
2. 误差不互不影响；
3. 运算速度比级联快。

5.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构

FIR数字滤波器的特点

1. h(n)中，0\le n\le N-1；
2. 系统函数在有限z平面没有极点；
3. 一般是非递归系统；
4. 可以设计成具有线性相位的形式。

直接型FIR滤波器

\begin{aligned} y(n)&=\sum\limits^{N-1}_{k=0}h(k)x(n-k)\\&=h(0)x(n)+h(1)x(n-1)+... \end{aligned}

如图：

级联型FIR滤波器

当需要控制系统传输零点的时候，将传递函数H(z)分解成二阶实系数因子的形式：

H(z)=\sum\limits^{N-1}_{n=0}h(n)z^{-n}=\prod^M_{i=1}(a_{0i}+a_{1i}z^{-1}+a_{2i}z^{-2})

优点：便于控制零点；

缺点：所需系数较多，所需乘法较多。

快速卷积型FIR滤波器

DFT计算卷积和

利用卷积和的特性可以实现滤波器：

\begin{aligned} y(n)&=x(n)*h(n)\\&=x(n)\text{\textcircled L}h(n)\end{aligned} \\L\ge N_1+N_2-1

再利用DFT的性质求出y(n)。

线性相位FIR滤波器

• 线性相位：滤波器对不同频率的正弦波所产生的相移和正弦波的频率呈线性关系。
• 线性相位的因果FIR系统的单位取样响应具有以下特性：
  1. h(n)为实序列；
  2. h(n)=\pm h(N-1-n)（+为偶对称，-为奇对称）。

结构：

• 当N为奇数时：

  H(z)=\sum\limits_{n=0}^{\frac{N-1}{2}-1}h(n)[z^{-n}\pm z^{-(N-1-n)}]+h(\dfrac{N-1}{2})z^{-\frac{N-1}{2}}

  

• 当N为偶数时：

  H(z)=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}h(n)[z^{-n}\pm z^{-(N-1-n)}]

  

习题

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