第一章 离散时间信号与系统
第二章 z变换和离散时间傅里叶变换(DTFT)
第三章 离散傅里叶变换
第四章 快速傅里叶变换（FFT）
第五章 数字滤波器的基本结构
第六章 无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器的设计方法
第七章 有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器的设计方法
第八章 序列的抽取与插值——多抽样率数字信号处理基础

第六章 无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器的设计方法

6.1 数字滤波器的基本概念

数字滤波器的分类

1. 按脉冲响应分类：IIR、FIR。

2. 选频滤波器：

   线性数字滤波器按照频率响应的通带特性可分为低通、高通、带通、带阻等几种形式。

   

3. 按相位响应的分类：线性相位、非线性相位。

4. 按特殊要求分类：最小相位滞后滤波器、全通滤波器、陷波器。

滤波器的设计步骤

1. 按照实际任务要求确定滤波器的性能指标。
2. 用一个因果稳定的离散线性时不变系统的系统函数取逼近这一性能要求。根据不同要求来选用IIR或FIR系统函数去逼近。
3. 利用有限精度算法来实现这个系统函数。
4. 实际的技术实现（软件、硬件）。

IIR滤波器的设计方法

1. 间接法（由模拟滤波器设计数字滤波器）
   • 脉冲响应不变法
   • 阶跃响应不变法
   • 双线性不变法
2. 直接法
   • 时域最小均方误差逼近法
   • 频域最小均方误差逼近法
   • 最小p误差法
   • 零极点匹配累试法

6.2 数字滤波器的技术指标

数字滤波器的性能要求一般以频率响应的幅度特性的允许误差来表示。

以低通滤波器为例，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范围：

在具体的技术指标中往往使用通带允许的最大衰减（波纹）R_p和阻带应达到的最小衰减A_s来描述：

R_p\le20\lg\frac{|H(e^{\mathrm j \omega})|_{\max}}{|H(e^{\mathrm j \omega_c})|}=-20\lg|H(e^{\mathrm j\omega_c})|=-20\lg(1-\alpha_1)(\mathrm{dB})\\ R_p\le20\lg\frac{|H(e^{\mathrm j \omega})|_{\max}}{|H(e^{\mathrm j \omega_{st}})|}=-20\lg|H(e^{\mathrm j\omega_{st}})|=-20\lg\alpha_2(\mathrm{dB})

各型滤波器的容限图

表征数字滤波器频率响应的特征参量

表征H(e^{\mathrm j\omega})?的三个参量：幅度平方函数、相位响应、群延时响应。

1. 幅度平方函数

\begin{aligned}|H(e^{\mathrm j\omega})|^2&=H(e^{\mathrm j\omega})H^*(e^{\mathrm j\omega})\\ &=H(e^{-\mathrm j\omega})\\ &=H(z)H(z^{-1})\big|_{z=e^{\mathrm j\omega}} \end{aligned}

1. 相位响应

\begin{aligned} \beta(e^{\mathrm j\omega})&=\mathrm{arctg}\bigg\{\frac{\mathrm{Im}[H(e^{\mathrm j\omega})]}{\mathrm{Re}[H(e^{\mathrm j\omega})]}\bigg\} \\&=\frac 1{2\mathrm j}\ln\bigg[{\frac {H(e^{\mathrm j\omega})}{H(e^{-\mathrm j\omega})}}\bigg]\\ &=\frac 1{2\mathrm j}\ln\bigg[{\frac {H(z)}{H(z^{-1})}}\bigg]\bigg|_{z=e^{\mathrm j\omega}} \end{aligned}

1. 群延时响应

\begin{aligned} \tau(e^{\mathrm j\omega})&=-\frac{\mathrm d\beta(e^{\mathrm j\omega})}{\mathrm d\omega}\\ &=-\mathrm{Re}\left[z\dfrac{\mathrm dH(z)}{\mathrm dz}\dfrac{1}{H(z)}\right]_{z=e^{\mathrm j\omega}} \end{aligned}

• 当要求滤波器为线性相位响应特性时，则通带内群延时应是常数。

6.3 全通滤波器

系统的频响的幅度在所有频率\omega 下均为1或常数。

H_{ap}(z)\bigg|_{z=e^{\mathrm j\omega}}=H_{ap}(e^{\mathrm j\omega})\\|H_{ap}(e^{\mathrm j\omega})|=1

全通系统的系统函数

1. 一阶全通系统的系统函数

H_{ap}(z)=K\frac{z^{-1}-a}{1-az^{-1}},a为实数且0<|a|<0,K为实数

1. 二阶全通系统的系统函数

   H_{ap}(z)=K\dfrac{z^{-1}-a^*}{1-az^{-1}}\dfrac{z^{-1}-a}{1-a^*z^{-1}}=K\dfrac{z^{-2}+d_1z^{-1}+d_2}{1+d_1z^{-1}+d_2z^{-2}},a为复数且0<|a|<1

2. 全通系统的系统函数

   \begin{aligned}H_{op}(z)& =K\prod\limits_{i=1}^N\dfrac{z^{-1}-a_i^*}{1-a_iz^{-1}} \\&=K\dfrac{z^{-N}+a_1z^{-N+1}+a_2z^{-N+2}+\cdots+a_N}{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}+\cdots+a_Nz^{-N}} \\&=K\dfrac{\text{z}^{-N}(1+a_1\text{z}^1+a_2\text{z}^2+\cdots+a_N\text{z}^N)}{1+a_1\text{z}^{-1}+a_2\text{z}^{-2}+\cdots+a_N\text{z}^{-N}}\\&=K\dfrac{\text{z}^{-N}D(\text{z}^{-1})}{D(\text{z})}\end{aligned}

   N为全通系统的阶数，系数均为实数，且分子、分母多项式中的系数相同，且排列的次序相反。

• 全通系统的全部极点都在单位圆内，全部零点都在单位圆外，全通系统为因果稳定系统。

全通系统的极点和零点互成倒易数关系

• 零极点均以共轭对的形式出现：

存在极点z_{1}^*=re^{-\mathrm j \theta}，则存在零点：\frac{1}{z_{1}^*}=\frac 1re^{\mathrm j \theta}

因此，全通系统的极点、零点出现在共轭反演位置上或在镜像位置上（以单位圆为镜子）。

全通系统的应用

1. 任何一个因果稳定的非最小相位延时系统H(z)都可以表示成全通系统H_{ap}(z)和最小相位延时系统H_{\min}(z)的级联。

   H(z)=H_{ap}(z)H_{\min}(z)

   H(z)与H_{\min}(z)的差别只是频响的相位特性不同，幅频特性相同。

2. 如果设计出的滤波器是非稳定的，则可以用级联全通函数的办法将它变成一个稳定的滤波器。

3. 可以做相位均衡器：将非线性相位的FIR滤波器变换为线性相位的FIR滤波器。

4. 求最大相位系统需要混合相位系统和全通系统级联。

6.4 最小相位滞后滤波器

最小相位滞后系统特点

1. 混合相位系统可表示成最小相位系统与全通系统的级联；

2. 最小相位系统满足：

   \omega = 0,H_{\min}(e^{\mathrm j0})=\sum\limits^\infty_{n=-\infty}h_{\min}(n)>0

3. 最小能量延迟性：h_{\min}(n)的能量集中在n=0附近：

   \sum\limits^m_{n=0}|h_{\min}(n)|^2>\sum\limits^m_{n=0}|h(n)|^2

4. 在|H(e^{\mathrm j\omega})|相同系统中，|h_{\min}(0)|最大：

   |h_{\min}(0)|>h(0)

5. 最小群延时特性：

   \tau_{\min}(\omega)<\tau(\omega)<\tau_{\max}(\omega)

6. 在|H(e^{\mathrm j \omega})|相同系统中，只有唯一一个最小相位系统。

7. 最小相位系统的逆系统也是最小相位系统：

   H_c(z)=\frac 1{H_{\min}(z)}

8. 最小相位系统一定是因果稳定系统。

6.5 模拟原型低通滤波器的设计

根据幅度平方函数确定系统函数

1. |H_a(\mathrm j\Omega)|^2=H_a(\mathrm j\Omega)H_a(-\mathrm j\Omega)=H_a(s)H_a(-s)\bigg|_{s=\mathrm j\Omega}

   H_a(s)是模拟滤波器的系统函数，是s的有理函数；H_a(\mathrm j\Omega)是滤波器的频率响应。

2. 构造H_a(s)：

   H_a(s)是模拟滤波器的系统函数，该滤波器一定是因果稳定系统。H_a(s)的所有极点一定位于s平面的左半平面。故H_a(s)H_a(-s)的所有左边平面的极点应该归于H_a(s)，对于零点没有限制，只要将对称零点分为两半分别给H_a(s)和H_a(-s)（每一半的零点一定以共轭对的形式出现）。如果是最小相位系统，那么左半平面的零点应该归于H_a(s)。

巴特沃思滤波器

1. 幅度平方函数

   \left|H(\mathrm j\Omega)\right|^2 = \dfrac{1}{1+\left(\dfrac{\Omega}{\Omega_c}\right)^{2N}}

   其中N为滤波器的阶次，\Omega_c为截止频率。

2. 当\Omega=\Omega_c时，|H(\mathrm j\Omega)|^2=\frac12即|H(\mathrm j\Omega)|=\frac1{\sqrt2}相当于3dB衰减，所以\Omega_c又称为3分贝带宽。

3. 通带中有最大平坦振幅特性，阻带是单调变化的。

4. 滤波器的特性由N决定，N越大，曲线越陡。

5. 极点：

   s_k=\Omega_ce^{\mathrm j(\frac 12+\frac{2k-1}{2N})\pi},k=1,2,...,2N

6. 一般模拟低通滤波器的设计指标由以下参数确定：

因此对于巴特沃思滤波器的情况下，设计的实质就是要求得滤波器的阶次N和截止频率\Omega_c。

一般求出的N不一定是一个整数，若N要满足性能指标，由以下公式得出：

\begin{gathered} N=\dfrac{\text{lg}\left\lfloor\left(10^{R_p/10}-1\right)/\left(10^{A_s/10}-1\right)\right\rfloor}{2\lg\left(\Omega_p/\Omega_{st}\right)} \\ \end{gathered}

为了在\Omega_p精确的满足指标要求，则：

\Omega_c=\dfrac{\Omega_p}{\sqrt[2N]{10^{R_p/10}-1}}

为了在\Omega_{st}精确的满足指标要求，则：

\Omega_c=\dfrac{\Omega_{st}}{\sqrt[2N]{10^{A_s/10}-1}}

💡 求得了阶次N和截止频率\Omega_c，如何得到H(s)？
方法一：使用幅度平方函数。
方法二：查表法，得到归一化函数后要去归一化。设H_{aN}(s)为归一化系统的系统函数，那么：H_a(s)=H_{aN}\bigg[\frac s{\Omega_c'}\bigg]

切比雪夫滤波器

1. 具有等波纹特性

• 切比雪夫I型：振幅特性通带内是等波纹的，在阻带内是单调下降的。

• 切比雪夫II型：振幅特性在阻带内是等波纹的，在通带内是单调下降的。

1. 切比雪夫I型低通滤波器的幅度平方函数

   |H_a(\mathrm j\Omega)|^2=\frac 1{1+\epsilon^2C_N^2(\dfrac \Omega \Omega_c)}

   其中，N为阶次、\Omega_c为截止频率、\epsilon为波动程度、C_N(x)是N阶切比雪夫多项式。

   1. 当\Omega=0，N为偶数时，|H(\mathrm j\Omega)|=\frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2}}。当\Omega=0，N为奇数时，|H(\mathrm j0)|=1。
   2. \Omega=\Omega_c时，|H_a(\mathrm j\Omega)|=\frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2}}。

   c. 在通带内，即当|\Omega|<\Omega_c，|H_a(\mathrm j\Omega)|等波纹起伏。

   d. 在通带之外，即当|\Omega|>\Omega_c时，随着\Omega的增大，|H_a(\mathrm j\Omega)|迅速单调的趋近于零。

2. 参数的确定

   • \Omega_c是频带宽度，一般是预先给定的。

   • \epsilon是与通带波纹R_p有关的一个参数。

     \epsilon^2=10^{R_p/10}-1

     注意通带波纹值不一定是3dB，也可能是其他值。

   • N的数值可以通过阻带衰减来确定。

     N>\frac{\mathrm{arcch}[\sqrt{10^{0.1A_s}-1}/\sqrt{10^{0.1R_p}-1}]}{\mathrm{arcch}(\Omega_{st}/\Omega_p)}

     \mathrm {arcch}(x)=\ln(x+\sqrt{x^2-1})

   • 多项式系数可以通过查表来确定。

   

   

   

   

   

   

6.7 间接法IIR数字滤波器设计方案

前面学习了如何构造一个模拟滤波器，这里将会学习如何把模拟滤波器转换为数字滤波器。

IIR系统的系统函数可以用零极点表示：

\begin{aligned} H (z)=\frac{\sum\limits_{k=0}^{M}b_{k}z^{-k}}{1-\sum\limits_{k=1}^{N}a_{k}z^{-k}}=A\frac{\prod\limits_{k=1}^{M}(1-c_{k}z^{-1})}{\prod\limits_{k=1}^{N}(1-d_{k}z^{-1})} \\ \end{aligned}

如果M>N时，H(z)可看成是一个N阶IIR子系统与一个(M-N)阶的FIR子系统的级联。以下的讨论都假定M\le N。

利用模拟滤波器设计数字滤波器的步骤

1. 将数字滤波器的设计指标转换为模拟滤波器的设计指标。
2. 将高通、带通、带阻滤波器的设计指标转化为模拟低通滤波器的设计指标。
3. 设计模拟低通滤波器。
4. 将模拟滤波器转化为数字滤波器。

6.8 模拟滤波器数字化为数字滤波器的映射方法

模拟滤波器转化为数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器的系统函数H_a(s)映射成数字滤波器的系统函数H(z)。归根结底就是将s平面映射到z平面的变换。这个变换通常是复变函数的映射变换。

这个映射变换必须满足以下两条基本要求：

1. H(z)的频率响应要能模仿H_a(s)的频率响应，也即s平面的虚轴\mathrm j\Omega必须映射到z平面的单位圆上。
2. 因果稳定的H_a(s)应能映射成因果稳定的H(z)，即s平面的左半平面\mathrm{Re}[s]<0必须映射到z平面单位圆的内部|z|<1。

冲激响应不变法

冲激响应不变法是使数字滤波器的单位脉冲响应h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应h_a(t)，即将h_a(t)进行当间隔采样，使h(n)正好等于h_a(t)的采样值：

h(n)=h_a(t)\bigg|_{t=nT}\\H(z)\bigg|_{z=e^{sT}}=\frac 1T\sum\limits^{\infty}_{k=-\infty}H_a(s-\mathrm j\frac{2\pi}Tk)

• 混叠失真：只有当模拟滤波器的频率响应时限带的，且频带限于折叠频率之内时，才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真。

• 模拟滤波器的数字化

  设模拟滤波器的系统函数H_a(s)只有单阶级点，且假定分母的阶次大于分子的阶次。则有：

  H_a(s)=\sum\limits^N_{k=1}\frac{A_k}{s-s_k}

  对该式进行拉氏反变换：

  h_a(t)=L^{-1}[H_a(s)]=\sum\limits_{k=1}^N A_k e^{s_kt}u(t)

  在脉冲响应不变法中，要求数字滤波器的单位脉冲响应应等于对h_a(t)的采样，即：

  h(n)=h_a(nT)\big|_{t=nT}=\sum\limits_{k=1}^N A_k e^{s_k nT}u(nT)

  对h(n)求z变换，得数字滤波器的系统函数：

  \begin{aligned} H(z)&=\sum_{n=-\infty}^\infty h(n)z^{-n}\\&=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=1}^N A_k e^{s_k nT}z^{-n}\\ &=\sum_{k=1}^N\sum_{n=0}^\infty A_k(e^{s_kT}z^{-1})^n\\ &=\sum_{k=1}^N\frac{A_k}{1-e^{s_k T}z^{-1}} \end{aligned}

• 系统的稳定性不变：变换前后系统都是因果稳定的。

• 数字滤波器的零点位置与模拟滤波器的零点位置没有这种代数对应关系。

• 参数的修正：

  H(e^{\mathrm j\omega})=\frac{1}{T}H_a\bigg(\mathrm j\frac{\omega}{T}\bigg)\quad\big|\omega\big|<\pi

  如果采样频率很高，数字滤波器可能会有很高的增益，为了使数字滤波器的增益不随采样频率而变化，做以下的修正：

  h(n)=Th_a(t)\bigg|_{t=nT}\\ H_a(s)=\sum_{k=1}^N\frac{A_k}{s-s_k}\implies H(z)=\sum_{k=1}^N\frac{TA_k}{1-e^{s_kT}z^{-1}}

• 冲激响应不变法的优缺点：

  优点：

  1. 脉冲响应不变法时域逼近良好；
  2. 模拟频率\Omega和数字频率\omega之间呈线性关系。

  缺点：

  1. 有频率的混叠效应

• 用冲激响应不变法设计数字低通滤波器过程

  1. 给定数字低通滤波器的指标：\omega_p,\omega_s,A_p,R_s；

  2. 选择T进而求得模拟频率：\Omega_p=\frac{\omega_p}{T},\Omega_s=\frac{\omega_s}{T}；

  3. 根据指标\Omega_p,\Omega_s,A_p,R_s设计模拟滤波器H_a(s)；

  4. 将H_a(s)展开成部分分式和的形式；

     H_a(s)=\sum_{k=1}^N\frac{A_k}{s-s_k}

  5. 将模拟滤波器转换为数字滤波器。

     H(z)=\sum_{k=1}^N\frac{TA_k}{1-e^{s_kT}z^{-1}}

双线性变换法

1. 变换原理：采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-\pi/T\sim\pi/T之间，再用z=e^{sT}转换到z平面上。

   

   为了将整个s平面的整个虚轴\mathrm j\Omega压缩到s_1平面\mathrm j\Omega_1轴上的-\pi/T\sim\pi/T段上，可通过正切变换实现。

   \Omega=c\tan\left(\frac{\Omega_1T}{2}\right)

   其中T是采样间隔。再利用欧拉公式：

   j\Omega=c\cdot\frac{e^{j\Omega_1T/2}-e^{-j\Omega_1T/2}}{e^{j\Omega_1T/2}+e^{-j\Omega_1T/2}}

   再将关系延拓到整个s平面：

   s=c\frac{e^{s_1T/2}-e^{-s_1T/2}}{e^{s_1T/2}+e^{-s_1T/2}}=c\frac{1-e^{-s_1T}}{1+e^{-s_1T}}

   再通过s_1平面和z平面的映射关系：z=e^{s_1T}，可得到s平面和z平面的胆汁映射关系为：

   s=c\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}

2. 常数c的选择

• 使AF与DF在低频处有较确切的对应关系，即模拟原形滤波器的低频特性近似于DF的低频特性。

\Omega=c\tan\left(\frac{\Omega_1T}{2}\right)=\Omega_1\approx c\frac{\Omega_1T}{2}\Rightarrow c=\frac T2

• 使数字滤波器的某一特定频率（如\omega_c）与模拟原形滤波器的一个特定频率（如\Omega_c）严格相对应。

  c=\Omega_c/\tan{(\frac {\omega_c} 2)}

1. 逼近的情况

   因果稳定的模拟滤波器\rightarrow因果稳定的数字滤波器

2. 双线性变换的优缺点

• 优点：消除了冲激响应不变法的混叠效应；
• 缺点：存在非常严重的非线性频率变换。

对于双线性变换产生的畸变，我们可以通过预畸变的方式来加以矫正。

\Omega=\frac{2}{T}\tan\frac{\omega}{2}

1. 模拟滤波器的而数字化方法

   H(s)\Big|_{s=\frac{21-z^{-1}}{T1+z^{-1}}}=H(z)

2. 用双线性法设计数字滤波器的步骤

• 由给定的数字频率指标\omega_i求得模拟频率的指标\Omega_i，必须进行预畸变：\Omega=\frac{2}{T}\tan\frac{\omega}{2}
• 由指标\Omega_i计算系统函数H_a(s)
• 再由H_a(s)得到H(z)

6.11 数字域频率转换

H_L(z)为给定的低通数字滤波器，H_d(Z)是希望得到的选频（低通、高通、带通、带阻）数字滤波器。定义一个映射关系：

z^{-1}=G(Z^{-1})

则有：

H_d(Z)=H_L(z)\bigg|_{z^{-1}=G(Z^{-1})}

对于变换函数G(Z^{-1})的要求：

• z平面的单位圆内必须对应Z平面的单位圆内；
• 两个函数的频响满足一定的要求，因此z平面的单位圆应映射到Z平面的单位圆上。
• 系统函数G(Z^{-1})必须是Z^{-1}的有理函数。

数字低通-数字低通

\theta_c为给定的低通滤波器的截止频率；

\omega_c为希望得到的低通滤波器的截止频率。

低通-低通的映射关系为：

z^{-1}=G(Z^{-1})=\frac{Z^{-1}-\alpha}{1-\alpha Z^{-1}}

\alpha=\frac{\sin[(\theta_c-\omega_c)/2]}{\sin[(\theta_c+\omega_c)/2]}

数字低通-数字高通

\theta_c为给定的低通滤波器的截止频率；

\omega_c为希望得到的高通滤波器的截止频率。

低通-高通的映射关系为：

z^{-1}=G(Z^{-1})=-\frac{Z^{-1}-\alpha}{1-\alpha Z^{-1}}

\alpha=-\frac{\cos[(\theta_c+\omega_c)/2]}{\cos[(\theta_c-\omega_c)/2]}

数字低通-数字带通

\theta_c给定的低通滤波器的截止频率；

\omega_1希望得到的带通滤波器的通带下截止频率；

\omega_2希望得到的带通滤波器的通带上截止频率。

低通-带通的映射关系为：

z^{-1}=-\frac{Z^{-2}+\alpha_1Z^{-1}+\alpha_2}{\alpha_2Z^{-2}+\alpha Z^{-1}+1}

\alpha_1=\frac{-2\beta k}{k+1},\alpha_2=\frac{k-1}{k+1}\\ \beta=-\frac{\cos[(\omega_2+\omega_1)/2]}{\cos[(\omega_2-\omega_1)/2]}\\k=\cot{(\frac{\omega_2-\omega_1}{2})}\tan{\frac{\theta_c}{2}}

数字低通-数字带阻

\theta_c给定的低通滤波器的截止频率；

\omega_1希望得到的带阻滤波器的通带下截止频率；

\omega_2希望得到的带阻滤波器的通带上截止频率。

低通-带阻的映射关系：

z^{-1}=-\frac{Z^{-2}+\alpha_1Z^{-1}+\alpha_2}{\alpha_2Z^{-2}+\alpha Z^{-1}+1}

\alpha_1=\frac{-2\beta }{1+k},\alpha_2=\frac{1-k}{1+k}\\ \beta=-\frac{\cos[(\omega_2+\omega_1)/2]}{\cos[(\omega_2-\omega_1)/2]}\\k=\cot{(\frac{\omega_2-\omega_1}{2})}\tan{\frac{\theta_c}{2}}

设计IIR数字滤波器的步骤

1. 由要求的选频滤波器（高通、带通、带阻）的设计指标，得出低通滤波器的设计指标；
2. 由低通滤波器的设计指标得出模拟低通滤波器的设计指标（当用双线性变换法时需要预畸变）；
3. 设计模拟低通滤波器（巴特沃思型、切比雪夫I型）；
4. 将模拟低通滤波器转换为数字低通滤波器（冲激响应不变法、双线性变换法）；
5. 将数字低通滤波器转化为所要求的选频滤波器。

习题

• 答案

  

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• 答案

  

---

设计一满足下面要求的模拟低通巴特沃思滤波器：

• 通带截止频率：\Omega_p=0.2πrad/s;通带最大衰减：Rp=7dB

• 阻带截止频率：\Omega_s=0.3πrad/s;阻带最小衰减：A_s=16dB

• 答案

  

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设模拟滤波器的系统函数为H_a=\frac{s}{s^2+3s+2}，使用冲激响应不变法设计数字滤波器的系统函数。

• 答案

  

---

用双线性变换法设计一个三阶巴特沃思数字低通滤波器，采样频率为f_s=4\text{kHz}，其3dB截止频率为f_s=4\text{kHz}。

• 答案

  

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用MATLAB设计一满足下面要求的模拟低通巴特沃思滤波器：

• \omega_p=0.5πrad, Rp=2dB

• \omega_s=0.7πrad, A_s=15dB

• 答案

  示例代码：

  Rp = 2;
  As = 15;
  %% 数字滤波器的设计指标
  wp = 0.5*pi; 
  ws = 0.7*pi;
  %% 将数字滤波器设计指标转换为模拟滤波器的设计指标
  %% 假设采样周期T=1;
  T = 1;
  omegaP = wp/T;
  omegaS = ws/T;
  %% 得到模拟滤波器的阶次
  [N,Wn] = buttord (omegaP, omegaS, Rp, As, 's')
  %% 得到模拟滤波器的系统函数
  [b,a] = butter (N,Wn,'s')
  
  

  结果：

  N =
  
       6
  
  Wn =
  
      1.6535
  
  b =
  
           0         0         0         0         0         0   20.4393
  
  a =
  
      1.0000    6.3887   20.4079   41.3291   55.7983   47.7593   20.4393
  
  

  得到系统函数：

  H(s)=\frac{20.4393}{s^6+ 6.3887s^5+ 20.4079s^4+ 41.3291s^3+ 55.7983s^2+ 47.7593s+ 20.4393}

---

用双线性变换法设计高通数字滤波器，要求用切比雪夫I型滤波器逼近，设计指标为：

\omega_p=0.6\pi,\delta_p=1\text{dB},\omega_s=0.46\pi,~~\delta_s=15\text{dB}

• 答案

  

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如果因果稳定的数字滤波器H(z)和G(z)都是最小相位的，则下面系统有可能不是最小相位的是（ ） A.H(z)G(z)

B.H(z)+G(z)

C.\frac{H(z)}{G(z)}

D.\frac{1}{H(z)G(z)}

• 答案

  B

---

• 答案