第一章 概率论的基本概念
第二章 随机变量及其分布
第三章 多维随机变量及其分布
第四章 随机变量的数字特征
第五章 大数定理及中心极限定理
第六章 样本及抽样分布
第七章 参数估计
第八章 假设检验
第八章 假设检验
8.1 假设检验
假设检验的基本原理
在总体的分布函数完全未知或只知其形式，但不知其参数的情况下。为了推断总体的某些性质，提出某些关于总体的假设。假设检验就是根据样本所提出的假设做出判断：是接受还是拒绝？
实际的推断原理：一个小概率事件在一次试验中几乎不可能发生。
假设检验的相关概念
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显著性水平
当样本容量固定时，选定\alpha后，数k就可以确定，然后按照统计量Z=\frac{\overline x=\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}的观察值的绝对值大于等于k还是小于k来做决定。
如果|z|=\bigg|\frac{\overline x-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\bigg|\ge k，则称\overline x与\mu_0的差异是显著的，则我们拒绝H_0。
反之，如果|z|=\bigg|\frac{\overline x-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\bigg|< k，则称\overline x与\mu_0的差异是不显著的，则我们接受H_0。
数\alpha称为显著性水平，上述关于\overline x和\mu_0有无显著差异的判断是在显著性水平\alpha之下做出的。
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检验统计量
z=\frac{\overline x-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}称为检验统计量。
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原假设和备择假设
假设检验问题通常叙述为：在显著性水平\alpha下，检验假设H_0:\mu=\mu_0,H_1:\mu\neq\mu_0。或称为：”在显著性水平\alpha下，针对H_1检验H_0。“
H_0称为原假设或零假设，H_1称为备择假设。
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拒绝域与临界点
当检验统计量取某个区域C中的值时，我们拒绝原假设H_0，则称区域C为拒绝域，拒绝域的边界点称为临界点。
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两类错误及记号
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当原假设H_0为真，观察值却落入拒绝域，而做出了拒绝H_0的判断，称为第一类错误，又叫弃真错误，这类错误是“以真为假”，犯第一类错误的概率\alpha是显著性水平：
P\{拒绝H_0|H_0为真\}=\alpha
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当原假设H_0不为真，而观察值却落入接受域，而做出了接受H_0的判断，称作第二类错误，又叫取伪错误，这类错误是“以假为真”。
犯第二类错误的概率记为：
P\{当H_0不真接受H_0\}或P_{\mu\in H_1}\{接受H_1\}=\beta
当样本容量n一定时，若减少犯第一类错误的概率，则犯第二类错误的概率往往增大。若要使犯两类错误的概率都减小，除非增加样本容量。
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显著性检验
只对犯第一类错误的概率加以控制，而不考虑犯第二类错误的概率的检验。称为显著性检验。
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双边备择假设与双边假设检验
在H_0:\mu=\mu_0和H_1:\mu\ne\mu_0，备择假设H_1表示\mu可能大于\mu_0，也可能小于\mu_0，称为双边备择假设，形如H_0:\mu=\mu_0,H_1:\mu\neq \mu_0的假设检验称为双边假设检验。
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右边检验与左边检验
形如H_0:\mu=\mu_0,H_1:\mu>\mu_0的假设检验称为右边检验。
形如H_0:\mu=\mu_0,H_1:\mu<\mu_0的假设检验称为左边检验。
右边检验与左边检验通称为单边检验。
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单边检验的拒绝域
设总体X\sim N(\mu,\sigma^2)，\sigma为已知，X_1,X_2,...,X_n是来自总体X的样本，给定显著性水平\alpha，则：
- 右边检验的拒绝域：z=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\ge z_\alpha；
- 左边检验的拒绝域：z=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\leq-z_\alpha。
假设检验的一般步骤
- 根据实际问题的要求，提出原假设H_0及备择假设H_1；
- 给定显著性水平\alpha以及样本容量n；
- 确定检验统计量以及拒绝域形式；
- 按P\{H_0为真拒绝H_0\}=\alpha求出拒绝域；
- 取样，根据观察样本值确定接受还是拒绝H_0。
8.2 正态总体均值的假设检验
单个总体N(\mu,\sigma^2)均值\mu的检验
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\sigma^2为已知，关于\mu的检验（Z检验）
- 假设检验H_0:\mu=\mu_0,H_1:\mu\neq\mu_0；
- 假设检验H_0:\mu\le \mu_0,H_1:\mu>\mu_0；
- 假设检验H_0:\mu\ge\mu_0,H_1:\mu<\mu_0。
这些\mu的检验问题都是利用H_0为真时服从N\sim(0,1)分布的统计量Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}来确定拒绝域的，这种检验法称为Z检验法。
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\sigma^2为未知，关于\mu的检验（t检验）
设总体X\sim N(\mu,\sigma^2)，其中\mu,\sigma^2未知，显著性水平为\alpha，
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检验问题H_0:\mu=\mu_0,H_1:\mu\ne\mu_0的拒绝域为：
|t|=\bigg|\frac{\overline x-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\bigg|\ge t_{\alpha/2}(n-1)
上述利用t统计量得出的检验法称为t检验法。
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检验问题H_0:\mu\le\mu_0,H_1:\mu>\mu_0的拒绝域为：
\frac{\overline x-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\ge t_{\alpha}(n-1)
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检验问题H_0:\mu\ge\mu_0,H_1:\mu<\mu_0的拒绝域为：
\frac{\overline x-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\le- t_{\alpha}(n-1)
两个正态总体均值的假设检验
设X_1,X_2,...,X_n为来自正态总体N(\mu_1,\sigma^2)的样本，Y_1,Y_2,...,Y_n为来自正态总体N(\mu,\sigma^2)的样本，且设量样本独立，两样本方差相等。又设X,Y分别是总体的样本均值，S_1^2,S_2^2是样本方差，\mu_1,\mu_2,\sigma^2均为未知。
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检验问题H_0:\mu_1-\mu_2=\delta,H_1:\mu_1-\mu_2\neq\delta的拒绝域：
t=\frac{|(x-y)-\delta|}{S_w\sqrt{\frac 1 {n_1}+\frac1 {n_2}}}\ge t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2)
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8.3 正态总体方差的假设检验
单个正态总体方差的假设检验
设总体X\sim N(\mu,\sigma^2),\mu,\sigma^2均为未知。X_1,X_2,...,X_n为来自总体X的样本。
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要求检验假设：H_0:\sigma^2=\sigma_0^2,H_1:\sigma^2\neq\sigma_0^2。拒绝域为：
\frac{(n-1)s^{2}}{2}\leq\chi_{1-\alpha/2}^{2}(n-1)或\frac{(n-1)s^{2}}{\sigma_{0}^{2}}\geq\chi_{\alpha/2}^{2}(n-1)
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右边检验问题：H_0:\sigma^2\le\sigma_0^2,H_1:\sigma^2>\sigma_0^2的拒绝域为：
\chi^2=\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\geq\chi_\alpha^2(n-1)
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左边检验问题：H_0:\sigma^2\ge\sigma_0^2,H_1:\sigma^2<\sigma_0^2的拒绝域为：
\chi^2=\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\le\chi_{1-\alpha}^2(n-1)
以上检验法又称\chi^2检验法。
两个正态总体方差的假设检验
设X_1,X_2,...,X_n为来自正态总体N(\mu_1,\sigma_1^2)的样本，Y_1,Y_2,...,Y_n为第二个总体N(\mu_2,\sigma_2^2)的样本，且设量样本独立，其样本方差为S_1^2,S_2^2。又设\mu_1,\mu_2,\sigma^2_1,\sigma^2_2均为未知。
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检验假设：H_0:\sigma_1^2=\sigma^2_2,H_1:\sigma_1^2\neq\sigma^2_2，其拒绝域为：
F\ge F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)或F\le F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)
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检验假设：H_0:\sigma_1^2\le\sigma^2_2,H_1:\sigma_1^2>\sigma^2_2，其拒绝域为：
F=\frac{s_1^2}{s_2^2}\ge F_{\alpha}(n_1-1,n_2-1)
以上方法又称为F检验法。
习题
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答案
在以H_0为原假设的假设检验中，犯第二类错误指的是（)
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答案
当H_0为假时，接受了H_0。
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